Espai vectorial

Un espai vectorial és un objecte d'estudi de l'àlgebra lineal dins les matemàtiques.

Per a definir formalment un espai vectorial E sobre un cos K, es diu que:

Sigui K un cos (per exemple : el cos $\mathbb{R}$ dels nombres reals o el cos $\mathbb{C}$ dels nombres complexos). Un espai vectorial sobre el cos K és un conjunt E que amb les operacions de:

suma vectorial, escrita v + w on $\bold v, \bold w \in E$
producte per un escalar, escrit a ⋅ v on a ∈ K; v ∈ E

satisfà les següents propietats:

V amb la suma vectorial forma un grup abelià, és a dir, se satisfà que:
1. v + w ∈ E.
2. u + (v + w) = (u + v) + w, propietat associativa.
3. $\exists \bold 0 \in E$ anomenat vector nul tal que v + 0 = 0 + v = v, $\forall \bold v \in E$ , és a dir, és l'element neutre de la suma vectorial.
4. $\forall \bold v \in E$ , $\exists (- \bold v) \in E$ tal que v + (- v) = 0, és a dir, tot element té oposat (invers respecte de la suma).
5. v + w = w + v, propietat commutativa.
V amb el producte per un escalar satisfà que:
1. a ⋅ v ∈ E.
2. a ⋅ (b ⋅ v) = (a ⋅ b) ⋅ v.
3. Si 1 denota l'element neutre del producte en el cos K, llavors 1 ⋅ v = v.
4. a ⋅ (v + w) = (a ⋅ v) + (a ⋅ w), propietat distributiva amb la suma de vectors.
5. (a + b) ⋅ v = (a ⋅ v) + (b ⋅ v).

Els elements de E s'anomenen vectors. S'acostumen a representar en negreta (v), tal i com s'ha fet en aquest article, amb una fletxa a sobre ( $\vec v$ ) o subratllats (v). Els elements de K s'anomenen escalars.